Abstract FR:

Soient k un corps et g/k un groupe algebrique lineaire. Si s/k est un schema, on rappelle qu'un s-torseur sous g est un schema e/s fidelement plat et de type fini sur s, muni d'une action a droite e#sge tel que le morphisme e#sge#se defini par (e, g)(e,e. G) soit un isomorphisme. Si le groupe g/k est lisse, l'ensemble de cohomologie etale h#e#t#1(s, g) classifie les s-torseurs sous g. Les torseurs sur la droite projective p#1 et sur la droite affine a#1 sont des sujets que l'on revisite dans cette these et dont on montre qu'ils s'appliquent a l'etude de la r-equivalence sur les groupes algebriques lineaires. La r-equivalence est une relation d'equivalence sur l'ensemble des points rationnels d'une variete algebrique, introduite par manin. Soit x/k une variete algebrique. La r-equivalence est la relation d'equivalence sur l'ensemble x(k) des points rationnels de x engendree par la relation elementaire suivante: deux points x, y de x(k) sont dits directement r-equivalents s'il existe une application k-rationnelle de p#1 dans x, definie en 0 et en 1, telle que (0)=x et (1)=y. Le resultat principal de cette these est le theoreme de finitude suivant. Theoreme: soit g/k un groupe reductif defini sur un corps de nombres k. Alors l'ensemble des classes de r-equivalence de g(k) est fini