Abstract FR:

Dans la premiere partie de la these on traite les problemes de l'existence, unicite et regularite des solutions faibles du systeme de navier-stokes tridimensionnel incompressible dans l'espace tout entier ; dans la deuxieme partie on considere l'existence de solutions autosimilaires pour une classe d'equations de schrodinger non lineaires. Les resultats fondamentaux du premier chapitre sont un theoreme d'equivalence des formulations differentielle et integrale du systeme de navier-stokes dans un cadre fonctionnel assez large et un resultat d'unicite des solutions milds (continues en temps) a valeurs dans les espaces fonctionnels critiques de lebesgue, de sobolev, de besov et de morrey-campanato. Dans le deuxieme chapitre on traite la question de l'existence des solutions milds sous une hypothese de regularite introduite par t. Kato qui suffit a garantir qu'il s'agit de solutions classiques en tout instant positif. On demontre ensuite un resultat de persistance de la regularite des solutions de koch et tataru dans l'espace des derivees de bmo issues d'une donnee initiale verifiant des proprietes supplementaires de derivabilite. Le temps d'existence de telles solutions ne depend que de la norme de koch et tataru. Dans le troisieme chapitre, il est encore question de persistance d'une propriete supplementaire verifiee par la donnee initiale, notamment de localisation et d'oscillation de son laplacien. La solution, unique dans l'espace de lebesgue critique, preserve alors cette propriete et ce pendant tout son temps de vie. Dans le quatrieme chapitre on etudie une classe d'equations de schrodinger non lineaires, avec non-linearite polynomiale d'ordre compris entre 1 et 2. A travers une analyse independante des termes lineaire et non lineaire, on demontre l'existence de solutions autosimilaires dans des espaces invariants modeles sur les espaces de sobolev avec une explosion en temps a l'instant initial. On etudie egalement le comportement asymptotique a l'infini des solutions appartenant a ce cadre fonctionnel.