Abstract FR:

Ce travail porte sur l'etude de la plus petite dimension possible pour une matrice symetrique ou antisymetrique de polynome minimal fixe et definie sur un corps de caracteristique differente de 2. Krakowski, en 1958, avait determine quels etaient les polynomes minimaux de telles matrices. Plus generalement, nous avons voulu determiner la dimension minimale d'une matrice de polynome minimal donne et symetrique ou antisymetrique pour une involution de premiere espece. Le premier chapitre enonce les conditions que doit verifier un polynome pour etre le polynome minimal d'une matrice symetrique ou antisymetrique pour une involution de premiere espece ; ainsi qu'une reformulation du probleme en termes de forme lineaire. Les chapitres 2 et 3 s'interessent aux matrices symetriques ou antisymetriques pour une involution orthogonale (et plus particulierement pour une involution hyperbolique) et aux matrices symetriques ou antisymetrique pour une involution symplectiques. Nous donnons des conditions necessaires et suffisantes pour qu'un polynome unitaire soit le polynome minimal d'une matrice symetrique ou antisymetrique pour une telle involution et de dimension egale au degre de ce polynome. Quand ces conditions ne sont pas verifiees par le polynome considere, alors il est le polynome minimal d'une matrice symetrique ou antisymetrique pour une involution de premiere espece et de dimension egale au double du degre de ce polynome. Enfin, dans le quatrieme chapitre, nous regardons des matrices symetriques ou antisymetriques pour la transposition. Nous determinons la plus petite constante #s(k) (respectivement #a(k) telle qu'un polynome f convenablement choisi soit le polynome minimal d'une matrice symetrique (respectivement antisymetrique) de dimension #s(k)degf (respectivement #adegf), la valeur de ces constantes dependant de la possibilite ou de l'impossibilite d'ecrire 1 comme somme finie de cares dans le corps de base k (c'est-a-dire de la finitude ou non du niveau du corps k).