Abstract FR:

Notre these concerne les aspects formels et effectifs des developpements asymptotiques. Dans la premiere partie nous developpons la theorie des transseries qui a ete introduite par j. Ecalle. Les transseries generalisent les series formelles en autorisant l'intrusion recursive d'exponentielles et de logarithmes. Nous introduisons de nouveaux types de transseries et les utilisons pour etudier la resolution d'equations fonctionnelles. En particulier, nous donnons un algorithme theorique pour determiner toutes les solutions d'une equation differentielle algebrique a coefficients reels donnee, qui ne font pas intervenir des phenomenes oscillatoires. La deuxieme partie de notre these concerne le calcul effectif avec des transseries. Nous simplifions et generalisons d'abord un algorithme de shackell pour developper des fonctions exp-logs. Ensuite nous donnons des algorithmes pour determiner les solutions de certains systemes d'equations en des transseries en plusieurs variables. En particulier, ceci permet de resoudre n'importe quel systeme d'equations exp-logs en plusieurs variables sur les rationnels. Nous donnons aussi un algorithme pour resoudre asymptotiquement des equations differentielles a coefficients rationnels, en interdisant les solutions comportant des phenomenes oscillatoires. Finalement, nous donnons quelques premieres approches pour traiter des transseries qui presente ce genre de phenomenes.