Abstract FR:

Etant donne un groupe de type fini g muni d'un systeme generateur symetrique x, etant donne un entier n, la boule de rayon n de (g, x) est l'ensemble des produits d'au plus n elements de x. On la note b(n). L'objet principal que l'on etudie dans cette these est le taux de croissance exponentiel de (g, x) defini par : (g, x) = lim supcard(b(n)) n. Dans le premier chapitre, on suppose que g est le groupe libre de rang p, et on le note plutot f p. On montre qu'alors, pour un systeme x donne, (f p,x)2p1, avec egalite si, et seulement si, x est une base de f p. D'autre part, si g est un groupe de type fini quelconque, et x un systeme generateur de cardinal p, alors (g, x) 2p1, avec egalite si, et seulement si, g est libre sur x. Dans le deuxieme chapitre, on suppose que g muni du systeme x est un groupe -hyperbolique, et on encadre le taux exponentiel de croissance (g, x) en fonction des cardinaux de certaines boules. Dans le troisieme chapitre, on suppose que g est hyperbolique et non elementaire. On montre qu'alors g est a croissance uniformement exponentielle, c'est-a-dire qu'il existe c g > 1 une constante ne dependant que de g, telle que pour tout systeme generateur x, on a : (g, x) c g. Le point cle de la demonstration nous permet en outre de retrouver le fait deja connu qu'un groupe hyperbolique n'a qu'un nombre fini de classes de conjugaison de sous-groupes finis. Dans le quatrieme chapitre enfin, on s'interesse plus generalement a un groupe g agissant par isometries sur un espace e, geodesique, propre et -hyperbolique. On montre que dans le cas ou g est engendre par trois elements ou moins, et si la borne inferieure des distances entre un point de e et son image par un element non trivial de g est assez grand devant , alors le groupe g est libre.