Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude de methodes probabilistes pour les equations aux derivees partielles non-lineaires. Dans un premier temps, on generalise la formule explicite du calcul des coefficients du developpement en chaos de wiener d'une fonction d'un processus de diffusion, introduite par n. K. Krylov et a. J. Veretennikov, lorsque cette fonction est a croissance polynominale, et sans faire d'hypothese de non-degenerescence de la diffusion. Dans la deuxieme partie, on etablit une formule de type feynman-kac pour les solutions de viscosite d'equations aux derivees partielles semi-lineaires de type parabolique comportant des coefficients seulement localement lipschitziens. Cette formule, obtenue a l'aide d'equations differentielles stochastiques retrogrades et d'equations differentielles stochastiques (dont la non-explosion des solutions est garantie par l'existence d'une fonction de lyapunov), etend celle etablie par e. Pardoux et s. Peng. Dans la troisieme partie, on etudie d'abord la stabilite des equations differentielles stochastiques retrogrades avec temps final aleatoire et on montre un theoreme d'existence et d'unicite pour ces equations dans le cas unidimensionnel. On applique ensuite ces resultats a l'etude de l'homogeneisation des equations aux derivees partielles semi-lineaires de type elliptique. Enfin, dans la derniere partie, on developpe une approche probabiliste pour decrire le comportement asymptotique des solutions d'equations aux derivees partielles paraboliques quasi-lineaires perturbees singulierement. Cette approche repose sur des proprietes de stabilite pour les equations differentielles stochastiques progressives-retrogrades qui sont demontrees.