Abstract FR:

Dans cette these nous generalisons la relation de fuchs, verifiee par les exposants d'une equation differentielle fuchsienne, au cas des systemes differentiels lineaires a points singuliers reguliers sur p 1. Cette generalisation, qui prend la forme d'un encadrement de la somme des exposants, resulte d'une etude locale de la connexion reguliere que l'on peut associer au systeme. Nous montrons que la notion analytique d'exposants d'un systeme differentiel developpee par levelt est un invariant algebrique du reseau attache au systeme. Plus precisement, les exposants representent les valeurs propres du residu de la connexion par rapport a un certain reseau stable maximal que nous definissons, et que nous appelons reseau de levelt du reseau precedent. Les problemes relatifs aux exposants se traduisent en termes de diviseurs elementaires de modules sur un anneau principal. Nous determinons ainsi les bornes de l'inegalite de fuchs pour les systemes. Cette interpretation algebrique nous permet egalement de preciser les principaux resultats connus sur les exposants (gantmacher, levelt, bolibrukh). Nous appliquons ensuite ces methodes a l'etude des constructions tensorielles d'un systeme donne. Nous illustrons enfin les resultats precedents par des exemples numeriques que nous traitons a l'aide du logiciel maple en appliquant une idee de gerard et levelt. Nous obtenons des approximations de la valeur des exposants, et, dans certains cas, leur valeur exacte.