Abstract FR:

Première partie : Soient G un groupe de Lie connexe de dimension n - 1, f une action localement libre de classe Cr (avec r supérieure ou égale à 2) de G sur une variété compacte M de dimension n supérieure ou égale a 3. Nous supposons qu'il existe dans l'algèbre de Lie de G un champ Y tel que la partie réelle de chaque valeur propre de ad(Y) soit strictement plus petite que 0. Alors, nous montrons que f est Cr -conjuguée à une action modèle de G sur un espace homogène H/T ou H est un groupe de Lie contenant G. Nos hypothèses impliquent que G a une structure particulière, mais il existe quand même de nombreux exemples : Notamment, la famille des groupes G ayant cette propriété est continue en toute dimension plus grande que 4 ; pour un choix générique de G, le groupe H correspondant n'a aucun quotient compact de dimension n, et ceci fournit une famille continue de groupes de Lie ne possédant aucune action de codimension 1 suffisamment régulière sur une variété compacte. Ces résultats sont liés à la théorie d'Anosov. Deuxième partie : Soient M une variété C connexe, munie d'un flot F et E un F-fibré hermitien au-dessus de M. On donne une version basique du théorème de Leray-Hirsch pour le fibré P(E), projectifié de E. Ensuite on établit un « principe de scindement » feuilleté, i. E on montre qu'il existe une variété B munie d'un flot V et une application feuilletée σ : B vers M telles que le fibré vectoriel image réciproque σ -1 E se décompose en somme directe de V-fibrés hermitiens Si de rang 1 et l'application σ*, induite en cohomologie basique, est injective.