Abstract FR:

Dans cette thèse nous étudions une classe de problèmes issus de la dynamique des populations et modélisés par des équations aux dérivées partielles paraboliques stochastiques semilinéaires dirigées par un processus de Wiener en dimension finie. Dans le premier chapitre nous évoquons le cheminement historique des idées qui ont conduit à cette étude et nous formulons des hypothèses générales de travail. Dans le deuxième chapitre, nous présentons une construction de l'intégrale stochastique au sens d'Itô d'une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous y introduisons également une classe d'équations auxiliaires et nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour cette classe. Dans le troisième chapitre nous établissons un principe de comparaison pour la classe en question, ce qui nous permet en fin de compte de prouver l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour le problème de départ. Nous montrons par ailleurs que notre méthode de démonstration s'applique également bien à l'établissement d'un principe de comparaison pour les équations différentielles stochastiques ordinaires et les équations aux dérivées partielles déterministes, ce qui conduit à un traitement unifié de tous ces cas. Dans le quatrième et dernier chapitre nous étudions le comportement asymptotique d'une telle solution lorsque la variable temporelle tend vers l'infini. Nous y prouvons l'existence d'un attracteur global et nous y dégageons des conditions permettant la détermination explicite des exposants de Lyapunov relatifs aux diverses composantes de cet attracteur. Nous interprétons également certains de nos résultats dans le contexte de la génétique des populations. Dans l'annexe nous démontrons une nouvelle formule d'Itô relative à une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert.