Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude de certains estimateurs non parametriques d'une densite ou d'une fonction de regression lorsque les observations sont stationnaires mais non necessairement independantes. Nous nous attacherons a montrer que la notion de melange que l'on appelle absolue regularite fournit un cadre probabiliste convenable pour mettre en lumiere la robustesse des methodes d'estimation envisagees vis a vis d'une faible perturbation de l'independance des donnees. Plus precisement, le probleme consiste a estimer une fonction s a partir de n observations issues d'un processus stationnaire absolument regulier. S represente soit la densite stationnaire, soit la fonction de regression si on observe un couple de variables aleatoires. Tout d'abord, en faisant des hypotheses a priori sur la fonction s du type s a support compact dans un espace de besov, nous etudions les vitesses de convergence d'estimateurs lineaires (tels les estimateurs a noyau ou par projection) et de certains estimateurs par minimum de contraste sur cribles. Sous une faible condition sommatoire sur les coefficients de melange, les vitesses obtenues sont les memes que celles connues comme etant optimales dans le cas independant. Les demonstrations sont basees sur deux resultats probabilistes importants: une nouvelle inegalite de covariance et une inegalite de moment type rosenthal. Nous etudions ensuite des resultats d'estimation adaptative permettant de s'affranchir des hypotheses a priori concernant la regularite de s. Nous proposons deux estimateurs de la densite construits par seuillage global des coefficients d'ondelettes (la dependance des donnees apparait dans leur construction via une condition sommatoire) et nous montrons leurs proprietes d'adaptativite. L'idee de preuve est nouvelle et se base sur un resultat interessant de talagrand que nous generalisons aux variables melangeantes. Ce resultat fournit un controle du supremum du processus empirique sur une classe convenable de fonctions