Abstract FR:

Les mesures de mandelbrot sont des mesures aleatoires obtenues par multiplications iterees de poids aleatoires repartis sur les sous-intervalles c-adiques de l'intervalle 0,1, c etant un entier superieur ou egal a 2. La premiere partie de cette these est consacree a l'etude de quelques proprietes des masses totales de ces mesures. En particulier, on exhibe des conditions suffisantes satisfaisantes pour que ces variables aient des moments d'ordres negatifs et pour que le processus qui a une famille de poids associe la masse totale de la mesure qu'elle definit soit continu. L'existence de moments d'ordres negatifs conditionne la plupart des resultats des parties deux et trois. Dans la seconde partie, on generalise la construction de mandelbrot en repartissant les memes poids, mais cette fois sur des intervalles aleatoires, structures en arbres comme le sont les intervalles c-adiques, et dont les longueurs sont elles-memes donnees par une mesure de mandelbrot. On prouve alors que si deux telles mesures sont construites sur les memes intervalles, l'une possede presque surement, presque partout par rapport a l'autre, un exposant de holder local. En corollaire, on calcule la plus petite dimension d'un borelien portant un morceau d'une telle mesure. Les troisieme et quatrieme parties sont consacrees a l'analyse multifractale de ces mesures : l'une d'entre elles etant fixee, on calcule la dimension de l'ensemble des points de son support ou elle possede un exposant de holder local donne. La cinquieme partie est une note aux comptes rendus de l'academie des sciences dans laquelle on s'interesse a certaines variantes du processus de multiplications. Enfin, dans la derniere partie, on generalise les resultats sur les moments d'ordres negatifs, les exposants de holder locaux et l'analyse multifractale dans le cas ou les mesures sont construites sur des intervalles dont le nombre de sous-intervalles est un entier c aleatoire.