Abstract FR:

Soit K/k une extension galoisienne de corps de nombres de groupe de Galois G. Quels sont les idéaux de K qui sont principaux dans le composé K. K', où k' désigne la plus grande extension abélienne de k ? Suivant les travaux de Gras et de Kurihara, nous répondons à cette question dans un certain nombre de cas, notamment les deux suivants: d'abord, si K/k est totalement décomposée en au moins une place infinie, nous prouvons que tous les idéaux de K sont principaux dans K. K'; ensuite, si tel n'est pas le cas, k est totalement réel et K totalement complexe et, lorsqu'en outre les conjugaisons complexes sont dans le centre de G, nous déterminons exactement quels idéaux de K sont principaux dans K. K', hormis ceux dont l'ordre est une puissance de 2 dans le groupe des classes de K (pour ces derniers nous trouvons que certains idéaux deviennent principaux dans K. K'mais nous ne savons pas si ce sont les seuls). Dans le second cas, la réponse fait essentiellement intervenir la structure de H-module du groupe des classes, où H est le sous-groupe de G engendré par les conjugaisons complexes, mais elle comporte également une petite composante plus arithmétique (entendez, non réductible à la seule structure de G-module du groupe des classe de K) lorsque K contient des racines de l'unité. Enfin, sous la conjecture de Gross, nous donnons des réponses analogues pour la principalisation dans K. K' des diviseur logarithmiques de K (leur définition est rappelée). Cela nous permet de déterminer dans tous les cas le groupe des classes et le groupe des classes logarithmiques de K' pour tout corps de nombres K (K' est la plus grande extension abélienne de K), sauf si p=2 et que K est totalement réel (le paramètre p - nombre premier quelconque - intervient dès lors que l'on traite la question pour chaque p-partie).