Abstract FR:

Dans cette these on s'attache a demontrer divers resultats pour les varietes pseudo-hermitiennes, et plus generalement pour les varietes de heisenberg, comme applications de la construction d'un residu non-commutatif dans le cadre du calcul hypoelliptique sur les varietes de heisenberg. Au chapitre 1 on passe en revue ce do-calculus. Au chapitre 2 on construit une algebre de do a parametre permettant une construction pseudo-differentielle de la resolvante d'un sous-laplacien sous-elliptique. Au chapitre 3 on introduit la notion de famille holomorphe de do qu'on utilise pour construire les puissances complexes d'un sous-laplacien sous-elliptique. Au chapitre 4 on construit un prolongement analytique de la trace pour les do d'ordre complexe non entier et on montre qu'on obtient sur les do d'ordre entier une trace residuelle qui est vraiment un residu non commutatif. On montre ensuite que ce residu non commutatif etend la trace de dixmier a tous les do d'ordre entier et que c'est l'unique trace, a coefficient multiplicatif pres, sur cette algebre quotientee par les operateurs regularisants. Au chapitre 5 on passe aux applications geometriques. On definit la fonction zeta d'un sous-laplacien sous-elliptique dont on relie les residus et les valeurs regulieres aux coefficients du developpement de la chaleur. A partir de formules variationelles pour les fonctions zeta on produit des invariants conformes pour une variete pseudo-hermitienne apres on etudie la geometrie non-commutative des varietes pseudo-hermitiennes, on definit l'aire d'une telle variete et en dimension 3 on montre qu'elle se cacule par une formule locale invoquant la courbure scalaire de tanaka-webster. Enfin on montre des formules locales pour calculer l'indice