Abstract FR:

La présente thèse, réalisée sous la direction du professeur Guy Barles, se compose de quatre articles indépendants. Le premier papier concerne l'étude du problème de Dirichlet pour les équations semi-linéaires elliptiques dégénérées, dans le cadre de la théorie de solutions de viscosité. Nous obtenons en particulier un résultat optimal d'existence et d'unicité d'une solution continue, même lorsque la condition aux limites n'est pas réalisée. Nous appliquons ce résultat aux problèmes de temps de sortie en contrôle stochastique, et montrons en particulier que, sous des hypothèses naturelles la fonction-valeur est continue et est l'unique solution du problème de Dirichlet-Bellmann associé. Le second article relève de la finance mathématique, et étudie le prix critique des putts américains dans le modèle de Black-Scholes. Notre principal résultat concerne le comportement au voisinage de l'échéance de ce prix critique, vu comme frontière libre d'une inéquation variationnelle d'évolution. Les deux derniers articles appartiennent à la théorie des systèmes hamiltoniens. Le premier présente un résultat de multiplicité de sous-harmoniques d'un système hamiltonien périodique au voisinage d'un équilibre non-hyperbolique. Plus précisément, nous prouvons que, sous des hypothèses de convexité, le nombre d'orbites p-périodiques croit comme une puissance de p lorsque p tend vers l'infini. Dans notre dernier travail, nous présentons différentes définitions et propriétés d'un index pour les orbites homoclines des systèmes hamiltoniens. Nous nous sommes inspirés des études fructueuses déjà réalisées par de nombreux auteurs dans le cas des orbites périodiques.