Abstract FR:

Bien que tres ancien, le problèmes de la séparation des racines d'un polynome a coefficients complexes reste toujours un problème d'actualité qui nécessite de nombreuses améliorations notamment en ce qui concerne la séparation des racines complexes. En effet les méthodes modernes de recherche simultanée des zéros d'un polynomes utilisent la géométrie circulaire et nécessitent toutes d'avoir au préalable isole les racines dans des disques de petite taille. Actuellement la phase d'isolation de ces algorithmes consiste d'abord a déterminer soit un disque, soit un carre, contenant toutes les racines, puis a entreprendre une dichotomie (toujours couteuses!) en fin de compte, il nous est apparu que cette phase s d'isolation tient peu compte de la structure algébrique des polynomes. Il est d'autre part étonnant qu'il n'existe pas d'algorithme permettant d'obtenir séparément soit les modules soit les arguments des racines. Ce sont ces remarques qui nous ont amené a construire des algorithmes donnant les modules des zéros d'un polynome, ou partant d'une couronne contenant des zéros, d'en déduire dans quels secteurs de la couronne se trouvent, algorithmes qui font l'objet de cette thèse. Nous avons pu d'autre part, améliorer l'un de ces outils en introduisant la notion de sous-transforme de schur-cohn d'un polynome. Ceci permet de maitriser la croissance de la taille des coefficients dans l'algorithme de schur-cohn et donc d'en rendre la complexité polynomiale. Enfin le calcul formel computer algébra en anglais semble etre l'outil de choix pour toute manipulation algébrique sur les polynomes