Abstract FR:

Dans cette these, on etudie les classifications des deformations de varietes de poisson. Lorsque la variete est un groupe, on cherche une quantification de la bigebre de lie associee. Etingof et kazhdan ont demontre l'existence d'une telle quantification. Dans le but de comparer cette deformation avec celle construite par drinfeld et jimbo dans le cas ou l'algebre est semi-simple, on etudie comment certaines proprietes liees a cette quantification se conservent si on utilise celle de kazhdan-etingof. On demontre ainsi l'existence d'une structure de tressage sur le groupe de poisson formel dual d'une algebre de lie quasi-triangulaire (chap. Iii). Les techniques de deformation nous permettent aussi d'obtenir une nouvelle construction des algebres de kac-moody symetrisables (chap. Ii). Si la variete est symplectique, elle est canoniquement munie d'une structure de poisson reguliere. En 1983, lecomte et de wilde ont prouve l'existence d'un star-produit sur une telle variete. En 1994, fedosov a donne une nouvelle construction. Dans le chapitre iv, on compare ces deux constructions et dans le chapitre v, on fait le lien entre ces classifications et celle proposee par connes, flato et sternheimer en 1992. On montre enfin comment cette classification est compatible avec celle de kontsevich dans le cas symplectique. Pour prolonger ce parallele dans le cas general, il faudrait construire un isomorphisme entre l'homologie cyclique de l'algebre deformee et l'homologie de poisson de la variete dont l'existence est la consequence de celle d'un homomorphisme l-infini etendant le theoreme de formalite de kontsevich (chap. Vi). Pour calculer les premiers termes de cet homomorphisme, on donne une formule d'homotopie explicite entre les complexes de hochschild et de de rham (chap. Vii).