Abstract FR:

Dans ce texte, on s'interesse au lien entre le spectre du laplacien agissant sur les formes differentielles et le spectre geometrique. On appelle spectre des volumes la collection des volumes des sous-varietes minimales de dimension donnee. Pour des sous-varietes de dimension un, on obtient le spectre des longueurs avec plusieurs possibilites pour definir la multiplicite. On designe par spectre geometrique, le spectre des volumes en dimension fixee ou en toute dimension. D'abord, on calcule explicitement le spectre du laplacien sur les formes pour les varietes grassmanniennes. C'est une generalisation des calculs de a. Ikeda - y. Taniguchi et de c. Tsukamoto, bases sur la theorie des representations des groupes compacts et sur l'egalite entre le laplacien et l'operateur de casimir dans les espaces symetriques. On considere ensuite des exemples de varietes isospectrales non isometriques, construites par a. Ikeda, et on calcule leurs spectres geometriques. On traite en premier le cas des espaces lenticulaires isospectraux jusqu'a un certain ordre et non isospectraux au dela. On obtient des spectres geometriques identiques, montrant ainsi que le spectre geometrique ne determine pas le spectre du laplacien sur les formes. On calcule ensuite les spectres des longueurs pour les quotients des spheres, isospectraux pour les formes de tout ordre et non isometriques. Les spectres obtenus ne sont pas toujours les memes bien que ces varietes verifient les hypotheses du theoreme de t. Sunada. Enfin, on decrit le spectre des longueurs pour les quotients de la grassmannienne ayant le meme spectre du laplacien sur les formes et non isometriques. Ces varietes satisfont aussi les hypotheses du theoreme de t. Sunada.