Abstract FR:

Dans ce travail nous nous interessons au comportement pour les grands temps de certaines equations aux derivees partielles, comportement exprime par leur attracteur global, quand ces equations sont faiblement dissipatives ou, plus generalement, quand leur semi-groupe n'est pas compact. Dans les deux premieres parties nous etudions l'existence et la regularite de l'attracteur global pour l'equation de korteweg-de vries faiblement dissipative et pour le systeme de zakharov faiblement dissipatif. Les deux equations ont en commun l'absence de compacite de leur semi-groupe. Nous construisons une decomposition tout a fait inhabituelle de l'equation en ses composantes de basse et haute frequences, ce qui nous conduit a l'existence et a la regularite de l'attracteur global. La troisieme partie est consacree principalement a l'etude de la compacite asymptotique d'un semi-groupe dans un contexte assez general et a son role pour en deduire l'existence de l'attracteur global. Nous donnons des conditions necessaires sur l'equation de l'energie qui permettent d'obtenir la compacite asymptotique. La methode s'applique aussi bien aux problemes autonomes qu'aux problemes non-autonomes. Comme applications nous considerons l'equation d'un fluide de grade deux (fluide non newtonien), un cas simplifie d'ecoulement de navier-stokes bidimensionnel autour d'un obstacle et l'equation de korteweg-de vries sur la droite reelle.