Abstract FR:

Le but de cette thèse est d'illustrer la théorie de la dualité de Clarke-Ekeland pour la recherche d'orbites périodiques et homoclines de systèmes gyroscopiques. Dans le cas homocline, on introduit la fonctionnelle de Clarke et on montre qu'elle vérifié des conditions de compacité à l'aide du critère de concentration-compacité. D'autre part, on montre que cette fonctionnelle vérifie les hypothèses géométriques du théorème de Mountain-Pass. Par suite, on conclut grâce au principe variationnel d'Ekeland, l'existence d'un point critique pour cette fonctionnelle. Enfin, en supposant que les points critiques de cette dernière sont uniques à une translation près et en utilisant un lemme de déformation et le principe variationnel d'Ekeland, on prouve l'existence d'un second point critique. A ces deux points critiques, on fait correspondre grâce à l'inversibilité de la partie linéaire du problème et à la formule de réciprocité de Legendre, deux solutions aux systèmes gyroscopiques. Dans le cas périodique, on adapte la fonctionnelle de Clarke pour ce type de solutions de sorte que ces points critiques restent solutions périodiques du problème. L'existence de telles orbites est plus simple que dans le premier cas car la condition de Palais-Smale est satisfaite et on en trouve trois. De plus, on a la minimalité de la période et l'existence de sous-harmoniques géométriquement distinctes