Abstract FR:

L'objet de ce travail, qui se compose de deux parties, est d'etudier dans un domaine borne strictement convexe le probleme de dirichlet associe a une equation de monge-ampere reelle. Dans la premiere partie on s'interesse au cas ou le domaine est muni de la metrique euclidienne, le second membre de l'equation f ne depend que de x et s'annule en un nombre fini de points a l'interieur. On montre alors sous certaines hypotheses sur la donnee au bord et si f est une perturbation assez reguliere de la solution d'un probleme trivial, l'existence d'une solution convexe unique assez reguliere. La preuve consiste a etablir pour l'operateur linearise des estimations a priori dans les espaces de sobolev, puis a construire pour cet operateur un schema iteratif approprie du type nash-moser, dont la convergence assure l'existence de la solution. De plus on montre dans le cas ou les donnees sont regulieres et sous une hypothese supplementaire sur la donnee au bord, que la solution est en fait reguliere jusqu'au bord. Dans la deuxieme partie on s'interesse aux equations de monge-ampere elliptiques relatives a une metrique riemannienne quelconque. En dimension deux d'espace et lorsque le second membre ne depend que de x, on montre que le probleme possede une solution unique, strictement convexe et reguliere sous la seule hypothese de convexite de l'ouvert. Puis dans le cas general ou f depend aussi de la solution et de son gradient, on demontre le meme resultat sous l'hypothese supplementaire d'existence de sur et sous solutions. On utilise pour les preuves la methode classique de continuite et la methode du degre