Abstract FR:

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la géométrie discrète et étudie plus particulièrement le comportement des parties linéaires sur les discrétisés de formes euclidiennes en dimension deux. Pour analyser précisément ce comportement nous utiliserons de façon complémentaire l'approche issue de la géométrie arithmétique et une description combinatoire des mots de Christoffel basée sur les fractions continues. Nous montrerons ainsi de nombreux liens entre la convexité (des formes euclidiennes et des formes discrètes) et une classe de parties linéaires : les segments maximaux. Sur un polygone convexe discret, la nature de ces relations s'exprimera principalement par des contraintes sur les longueurs et le nombre de ses arêtes. En asymptotique sur les discrétisés de formes euclidiennes, ces relations serons exprimés en fonction du pas de la grille. Ces résultats permettront l'étude du comportement asymptotique d'estimateurs géométriques locaux discrets, notamment la convergence multi-grille d'un estimateur de tangente basé sur les segments maximaux. L'estimation de la tangente sur tous les points de la courbe discrète est en temps linéaire grâce à des algorithmes optimaux et incrémentaux issus de la géométrie arithmétique.