Abstract FR:

Dans cette these, nous proposons un modele destine a approcher des problemes presentant des zones de discontinuites, issus de la mecanique des fluides et des problemes de segmentation d'images. Il permet de mettre en evidence une nouvelle classe de problemes de perturbations singulieres mettant en jeu un potentiel degenere a l'infini de type sous-lineaire, qui conduisent a une variete tres vaste de problemes limites. Parmi ceux-ci, en se basant sur des modeles de second gradient en theorie de la capillarite, on trouve une approche nouvelle du modele de capillarite pour des gouttelettes. D'autre part, dans le cadre de modeles d'ordre superieur (terme visqueux avec des derivees d'ordre deux dans l'energie), on obtient une approximation reguliere des problemes de segmentation d'images. Situee dans un cadre variationnel, la demarche choisie est celle de la gamma-convergence. Nous utilisons des arguments de compacite par concentration et de symetrisation. Nous montrons comment, en se basant sur le modele de cahn-hilliard, on dispose pour la premiere fois dans la theorie des transitions de phases d'un modele decrivant la dependance macroscopique de l'energie d'une gouttelette relativement a sa masse. Suivant une demarche parallele, nous montrons comment notre modele de perturbations singulieres fournit egalement une approximation reguliere de la fonctionnelle de mumford-shah qui, contrairement aux modeles proposes jusqu'a present, est locale.