Abstract FR:

On définit la notion de sous-différentiel abstrait, concept qui permet de recouvrir simultanément la quasi-totalité des diverses définitions de sous-différentiel utilisées en analyse non régulière (non différentiable). Dans ce contexte abstrait et pour des fonctions semi-continues inférieurement définies sur un espace de Banach, on prouve un principe virationnel lisse et une inégalité de la valeur moyenne approchée. La suite du mémoire est consacrée aux applications de cette inégalité et concernent : des applications a l'analyse: coercivité, continuité Lipchitz, densité du domaine de la fonction et de son sous-différentiel. Des applications a l'analyse convexe: caractérisation de la quasi-convexité, étude des fonctions quasi-affines et des fonctions fortement quasi-convexes. Cette approche abstraite permet d'englober et de généraliser un grand nombre de résultats précédemment démontrés dans des cas particuliers (espaces ou sous-différentiels particuliers, fonctions localement Lipchitz ou différentiables). Mais elle a surtout l'avantage d'aller a l'essentiel c'est-a-dire de construire les démonstrations autour de quelques techniques clefs de l'analyse non régulière et non autour des spécificités d'un sous-différentiel.