Abstract FR:

Les travaux presentes dans cette these ont pour objet l'etude de proprietes qualitatives de certaines equations aux derivees partielles elliptiques non lineaires. Ils s'articulent autour de deux themes principaux : la recherche de proprietes de symetrie et de monotonie des solutions de problemes de dirichlet associes a de telles equations, et l'etude de la symetrie des solutions et du domaine pour les problemes sur-determines de type serrin correspondants, dans le cadre des domaines non bornes. Le chapitre 2 aborde ainsi le deuxieme theme dans le cas des cylindres infinis, les chapitres 3 et 4 les deux themes dans le cas des domaines exterieurs et le chapitre 5 etudie le premier point dans les cadre des cones. Des outils specifiques ont ete developpes dans chacune de ces geometries afin d'adapter la methode de deplacement d'hyperplans (moving planes), qui est un outil classique en domaines bornes. En relation avec ces travaux, le chapitre 6 aborde l'etude d'une question liee a la stabilite pour les problemes sur-determines de type serrin, et les chapitres 7 et 8 l'existence et l'unicite dans les equations de hamilton-jacobi-bellman, pour une classe generale d'operateurs differentiels elliptiques. En marge des questions precedentes, le chapitre 9 presente une contribution a l'etude du probleme de neumann-kelvin de l'hydrodynamique navale.