Abstract FR:

Si k designe un corps de nombres, on s'interesse au groupe des classes de k (au sens ordinaire) note, en general, cl(k). Sa connaissance renseigne en particulier sur la solvabilite de certaines equations diophantiennes et, de ce fait, beaucoup de travaux ont pour objet l'etude de ce groupe des classes. Les resultats obtenus, issus, principalement, de methodes arithmetiques, algebriques ou analytiques concernent le plus souvent le cas historiquement tres etudie dans lequel k est un corps de nombres quadratique imaginaire. Par exemple, si k=qd), ou d est un entier positif libre de carres, on sait determiner les cas ou la 2-partie du groupe des classes est cyclique non triviale mais se pose alors le probleme de la determination de son ordre et on ne connait pas, semble-t-il, de regle permettant de predire le resultat de facon generale. L'objet de cette these est l'etude du probleme analogue en degre superieur: nous remplacons le corps quadratique imaginaire par un corps totalement imaginaire, cyclique de degre 2#n sur q, ou n est un entier superieur ou egal a 2, et nous voulons etudier la cyclicite de la 2-partie c#2(k) du groupe des classes de k et determiner son ordre. Plus generalement, nous nous sommes interesses aux extensions k/k cycliques de degre 2#n, avec n2 et k de type c. M c'est-a-dire que k est une extension quadratique totalement imaginaire d'un corps totalement reel. Lorsque k=q, nous avons obtenu le resultat suivant, qui contraste avec le cas des extensions quadratiques imaginaires de q: si k/q est une extension cyclique de degre 2#n avec n2 et k totalement imaginaire, de sous corps reel maximal k#+, la 2-partie de groupe des classes de k est cyclique non triviale si et seulement si le nombre relatif des classes de k est congru a 2 modulo 4 et alors l'exposant de ce 2-groupe est inferieur ou egal a n et entierement determine par les indices de ramification des facteurs premiers du conducteur de k. La derniere partie de ces resultats ne subsiste pas lorsque k=q et cela, meme si, comme q, k est principal: on trouve, par exemple, des extensions totalement imaginaires, cycliques de degre 4 d'un corps quadratique reel dont l'ordre de la 2-partie du groupe des classes ne peut plus se lire sur la ramification