Abstract FR:

L'objet de cette these est d'etudier des proprietes d'algebres de banach ultrametriques en rapport avec l'ensemble de leurs semi-normes multiplicatives continues. On commence par examiner des proprietes de connexite des semi-normes multiplicatives continues sur les ensembles d'elements analytiques h (d). On montre l'equivalence entre la connexite par arcs de cet ensemble de semi-normes muni de la topologie de la convergence simple et l'infraconnexite de d, en mettant en evidence une structure d'arbre sur ces semi-normes utilisant les filtres circulaires qui les caracterisent. Ceci generalise un resultat de berkovich donnes sur des algebres affinoides. On etudie aussi la metrisabilite de la topologie de la convergence simple. On propose ensuite la construction d'une algebre de banach d'elements analytiques, dits abstraits, en completant l'algebre des fractions rationnelles pour une norme definie grace a une partition d'un disque circonferencies en disques non-circonferencies. Dans une telle partition, on peut trouver des couronnes minorees desquelles on peut extraire des t-suites. De plus, cette algebre verifie un theoreme de mittag-leffler qui permet de trouver de nombreuses sous-algebres d'elements analytiques classiques. On peut alors utiliser les t-filtres et ainsi decider de l'integrite d'une telle algebre ou encore etudier les equations differentielles logarithmiques. Cette algebre permet d'unifier l'approche des algebres h (d) en ce sens que l'on peut montrer de nombreuses proprietes independamment de l'ensemble de definition d. Enfin, on s'interesse a des proprietes spectrales concernant la semi-norme spectrale d'algebres de banach plus generales. On cherche a quelles conditions le rayon spectral est egal a la semi-norme spectrale, ou bien a la borne superieure des semi-normes multiplicatives dont le noyau est un ideal maximal. On utilise une approche ponctuelle du probleme. Les resultats globaux qui en decoulent repondent a une conjecture de guennebaud et escassut. Les methodes employees s'appuient sur les elements analytiques abstraits.