Abstract FR:

On etudie la classe des champs de vecteurs reversibles, en dimension finie ou non, dont le spectre de la differentielle presente au voisinage de l'axe imaginaire la bifurcation suivante: superposition d'une dynamique oscillante induite par une paire de valeurs propres imaginaires pures d'ordre 1, simples et opposees, et d'une dynamique lente induite par une paire de valeurs propres passant du cas hyperbolique (+r et -r) au cas oscillant (+ir et -ir) ou r est la racine carree du module du parametre de bifurcation. Un tel champ de vecteurs en dimension infinie regit les ondes non lineaires a la surface libre d'un fluide parfait en presence de gravite et de tension superficielle. Pour les champs infiniment derivables, on prouve d'une part l'existence, pour chaque valeur du parametre de bifurcation, de solutions periodiques arbitrairement petites jusqu'a 0 et d'autre part l'existence de solutions reversibles homoclines a des orbites periodiques d'amplitude polynomialement petite par rapport a r. Pour les champs analytiques, on montre l'existence de solutions reversibles homoclines a des orbites periodiques exponentiellement petites (d'ordre exp(-c/r)). On ne peut se ramener dans ce cas a la dimension 4 via le theoreme de la variete centrale, car la demonstration s'appuie sur la construction de prolongements homolorphes des solutions pour obtenir des majorations exponentiellement petites d'integrales oscillantes. Enfin, on demontre qu'en dimension 4, les petites perturbations de la forme normale a l'ordre 2 sont en general singulieres: le systeme perturbe, a l'inverse de la forme normale n'admet pas de solutions reversibles homoclines a 0