Abstract FR:

Etude des extensions quadratiques du point de vue algebrique et geometrique. Nous partons, dans le chapitre i, de l'idee qu'etant donne un couple de (f,f::(0)), ou f::(0) est le sous-corps associe a un automorphisme involutif tau ( +ou- id::(f)) de f, on peut toujours construire des "geometries" sur f avec f::(0) comme corps de base; le couple corps des complexes, corps des reels servant de modele et les corps de series formelles (c,r), c = k((1/t)), r = k::(0)((1/t)) avec k = k::(0)(i) et g = i**(2) n'appartient pas a k::(0)***(2), servant d'exemple. Les concepts de base poses, nous donnons les elements de la "geometrie euclidienne" sur f. Nous etudions l'intersection des "droites affines" et des cercles car ce point montre la difference qui existe entre le cas classique (f = c) et le cas general que nous traitons. Nous faisons aussi une etude de la "geometrie circulaire" sur f et nous construisons dans f, une "geometrie de poincare". Le "demi-plan de poincare" est defini comme orbite de i(f = f::(0)(i)) sous l'action de g = psl::(2)(f::(0)); nous donnons enfin des notions afin d'aboutir a une notion plus "generale" de parallelisme entre les droites hyperboliques. Nous consacrons le chapitre 2 plus particulierement aux corps de series formelles. Nous etudions l'action par transformations homographiques du groupe gl::(2)(z) (ou z est le sous-anneau k::(0)(t) de r) sur c; le but de ce travail etant d'exhiber un domaine fondamental de c pour cette action et d'en etudier la particularite; il apparait preferable de supposer que k est un corps fini (donc k = f**(2)::(q)) et de separer les cas: "-1 est un carre dans f*::(q") "-1 n'est pas un carre