Abstract FR:

Ce travail est motive par des problemes de statistique asymptotique de suites de modeles gaussiens stationnaires, et par leur relation avec la theorie des operateurs de toeplitz. Le modele d'ordre n est specifie par un parametre, densite spectrale sur le cercle unite, et une probabilite gaussienne, de dimension n, centree et de covariance egale a la matrice de toeplitz d'ordre n associee a ce parametre. Nous construisons des classes de parametres dans des algebres de krein, des operateurs de toeplitz associes a ces parametres et inversibles, et des formules d'inversion asymptotique de ces operateurs. Nous calculons aussi une borne superieure pour la norme nucleaire de l'ecart entre un produit fini de matrices de toeplitz associees a des parametres donnes et la matrice de toeplitz associee au produit de ces parametres. Nous montrons ensuite comment ces resultats permettent de construire des approximations pour des rapports vraisemblance adaptees a des problemes de tests d'hypotheses et d'estimation. Nous precisons aussi le role du periodogramme dans ces problemes, et nous etablissons un developpement asymptotique pour ces rapports (propriete lan en dimension infinie). D'autres applications concernent le periodogramme: comportement de ces cumulants, inegalites de type berry-esseen, loi du logarithme itere. Enfin, nous considerons le cas de parametres rationnels (modeles arma). Utilisant des vraisemblances exactes ou approchees, et la loi du logarithme itere, nous construisons des estimateurs consistants pour les degres (ordre) du parametre