Analyse des singularités d'observabilité et de détectabilité : Application à la synchronisation des circuits éléctroniques chaotiques
Institution:
Cergy-PontoiseDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this memory, the first chapter is devoted to recalls on topics which are relates to traditional normal forms of commandability like to their role in the study of stability of nonlinear systems. In chapter 2, we do the same analysis using quadratic normal forms of observability or detectability for systems with or without observability bifurcations. Firstly, we give homological equations of quadratic equivalence modulo an output injection for linearly observable systems and for unobservable systems in one direction. Then we classify quadratic normal forms of observability. In the second time, we rewrite homological equations by using matrices, which allows us to characterize normal forms of observability without solving homological equations. Elements of these matrices are related to resonant terms in normal forms. Certain resonant terms are uniquely related to the states of the system and may be help us to overcome the loss of observability. Others are related to the input and define explicitly its universal character. In the same chapter, we highlighted the key role played by resonant terms in the quadratic observation of the linearly unobservable states. In chapter 3, we do the same study by using not only an output injection but also all its derivatives as well as output derivatives. In chapter 4, we study the codimension 1 bifurcation and codimension 2 bifurcation. By using the normal forms approach founded in chapter 1, combined with the technique of centre manifold theory, we can deduce the detectability or not of the system. In the last chapter, a real application is presented in order to highlight the usefulness of the observability normal forms. Our example is the securised transmission of data by synchronization of chaotic systems.
Abstract FR:
La première partie de mon travail concerne l'extension des ''bonnes propriétés'' d'observabilité des systèmes dits sous formes d'injection de sortie à une classe de systèmes plus large. Nous avons classifié les systèmes par leurs formes normales quadratiques d'observabilités; premièrement, en combinant l'approche d'approximation d'ordre supérieurs de H. Poincaré et l'injection de sortie. Dans un premier temps, nous introduisons les équations homologiques associées à l'équivalence quadratique modulo une injection de sortie pour les systèmes linéairement observables et les systèmes non observables dans une direction. Puis nous donnons la classification des formes normales d'observabilité quadratiques. Dans un deuxième temps, une récriture des équations homologiques à l'aide d'une formulation matricielle nous permet une caractérisation des formes normales d'observabilité sans avoir à résoudre les équations homologiques. Nous avons montré que les éléments de ces matrices sont liés à un coefficient près aux termes résonants de la forme normale. Nous avons montré que ces formes normales contiennent des termes quadratiques résonants essentiels pour conclure ou non à l'observabilité quadratique locale. Ensuite, en combinant la théorie des formes normales et l'injection d'entrée-sortie généralisée (c. -à-d. En s'autorisant les dérivées d'entrée et de sortie), nous avons montré que dans cette classe d'équivalence la forme normale ne contient que les termes résonnants quadratiques essentiels à l'observabilité quadratique. Puis, à l'aide du théorème de la variété centre, nous avons donné la forme normale de détectabilité quadratique, en étudiant la stabilité et la détectabilité pour chaque types de bifurcations de dimension 1 et 2 (col-noeud, transcritique, Hopf et double zéro). Dans la seconde partie, afin de tester l'efficacité d'une telle approche, une application réelle sous forme de montage électronique, dans le cadre de la cryptographie, illustre l'utilité de la bifurcation d'observabilité. Elle rend le décryptage plus complexe, Elle accroît la sécurité de la transmission des données. De ce fait, nous mettons en avant l'utilité des termes résonants pour retrouver l'information dans le cadre de la synchronisation de systèmes chaotiques à entrée inconnue (le message). Enfin, nous avons mis en évidence dans ce travail l'efficacité et la robustesse des observateurs à modes glissants.