Abstract FR:

La premiere partie de cette these etudie les enveloppes convexes de parties bornees de reseaux de points entiers dans les espaces de dimension 2 et 3. Nos etudes des reseaux utilisent en particulier des pavages periodiques conduisant a des algorithmes specialises et tres efficaces pour la construction des enveloppes convexes des parties bornees. Ces algorithmes ont une complexite nettement inferieure a celle des algorithmes generaux. La deuxieme partie etudie les images a niveaux de gris considerees comme des surfaces discretes. Nous etudions, tout particulierement, le convexe local associe aux 8 voisins d'un point donne. Lorsque les 9 points appartiennent a un plan discret on dit que le point central est regulier (ces structures sont maintenant appelees tricubes), nous interpretons geometriquement de maniere rigoureuse leur vecteur normal. Aux points irreguliers, nous proposons de prendre pour gradient le vecteur normal du triangle d'aire maximale a l'interieur du convexe local. Cette nouvelle definition generale du gradient permet une extraction de contours de haute qualite dans les images a niveaux de gris