Abstract FR:

Cette these est decoupee en quatre chapitres. Le premier chapitre est consacre a deux methodes de resolution de systemes d'equations algebriques. La premiere repose sur le calcul de base de grobner, a base de manipulations exactes de polynomes. Pour la seconde methode on approche numeriquement la solution, puis on reconstitue sa definition algebrique. On utilise en particulier l'algorithme lll de reduction de reseaux. Le second chapitre est plus theorique. Apres une breve presentation informelle, et une longue serie de definitions mathematiques, nous definissons formellement les dessins en insistant sur leurs deux visages, et la correspondance (de grothendieck) entre les deux : nous regroupons d'une part les definitions liees a leur aspect combinatoire et d'autre part celles concernant leur aspect algebrique. Nous insistons sur les nombreuses variantes et generalisations des dessins d'enfants. Le troisieme chapitre expose la principale methode pour le calcul explicite de la correspondance de grothendieck. Nous partons de la description combinatoire du dessin, nous definissons un systeme algebrique dont les solutions decrivent les proprietes algebriques et arithmetiques du dessin. Nous exposons quelques autres methodes, appliquees dans certains cas particuliers, puis nous detaillons les avantages de la resolution numerique du systeme par rapport a des techniques plus algebriques. Le quatrieme chapitre donne des exemples de calculs explicites de dessins. Il commence avec les dessins les plus elementaires, qui servent a visualiser les plus simples de ces objets, puis il continue en decrivant une serie de calculs d'arbres en y, qui servent de pretexte a une comparaison des techniques de calcul. Nous montrons ensuite quelques dessins ayant un interet particulier, et nous concluons avec des calculs servant a la resolution d'instances du probleme de galois inverse.