Abstract FR:

Nous etudions une nouvelle classe d'ensembles compacts. Nous utilisons un formalisme base sur les arbres infinis etiquetes et les ensembles compacts sont obtenus en plongeant ces arbres dans un espace metrique (x, d). Nous introduisons les definitions recursives d'arbres pour obtenir certaines classes d'arbres. Cela nous permet de classer les objets relativement aux classes des arbres utilises. Nous plongeons un arbre, defini sur un alphabet avec arite, en associant n applications contractantes a chaque symbole f d'arite n non nulle et un ensemble compact de x a chacune de ces feuilles. Notre principal objectif est la mise au point d'un modeleur base sur les arbres pour generer les ensembles compacts. Nous montrons que notre formalisme permet d'integrer les objets de la modelisation classique et les objets dits fractals. Ensuite, nous nous efforcons de traduire les proprietes topologiques et geometriques des ensembles compacts ainsi que les operations sur ceux-ci en terme de proprietes combinatoires et d'operations algebriques sur les arbres. Ainsi, nous adaptons plusieurs operations de haut niveau tres employees en modelisation geometrique (l'union, le produit cartesien, etc). Nous nous sommes egalement interesses a la classification de nos objets. En fait, notre facon de decrire les arbres donne un moyen naturel de classer les objets. Nous pouvons classer les ensembles compacts selon l'ordre des arbres utilises pour decrire ces ensembles compacts. Dans cette optique de classification, trois resultats sont a remarquer. Tout d'abord, les ensembles compacts rationnels constituent un sous-ensemble strict des ensembles compacts fonctionnels : ce resultat justifie l'augmentation de l'ordre des systemes pour la generation de nouveaux objets. Ensuite, pour un ensemble compact rationnel fini, nous donnons un majorant de son cardinal, lequel est une fonction dependant uniquement des proprietes combinatoires de l'arbre. Enfin, nous montrons que les ensembles algebriques ne sont pas des ensembles compacts rationnels si on se restreint a l'utilisation des applications affines contractantes pour le plongement. La description des arbres par les systemes d'ordre superieur, le plongement de ces arbres, les operations de haut niveau citees plus haut, ainsi que la visualisation ont ete implantes dans le logiciel comfrac (compacts et fractals).