Abstract FR:

Dans cette these, on demontre un nouveau resultat d'existence de solution pour une large classe de problemes d'optimisation de forme sous une contrainte geometrique portant sur la normale interieure. Ce travail est motive par la formulation variationnelle du probleme des surfaces de quadrature (fl) : soit une mesure positive upport compact k r#n et k > 0, on cherche un ouvert borne contenant k tel que le probleme surdetermine suivant : - u = dans , u = 0, et |*u| = k sur ait une solution. Plus precisement, on se donne un convexe compact c et on introduit une propriete appelee la propriete geometrique de la normale (c-pgn) relativement a c : en tout point de c ou la normale interieure existe, celle-ci rencontre c. On prouve alors que la classe des ouverts possedant la c-pgn est compacte pour la topologie de hausdorff et ensuite que l'application u# ou u#w est la solution du probleme de dirichlet (p) - u# = dans , u# = 0 sur est continue pour la topologie de hausdorff. On en deduit l'existence d'un ouvert qui possede la c-pgn et minimise la fonctionnelle j() = <1/2># |*u#|#2 - (,u#) + k#2/2# dx (ou u# est la solution du probleme (p) sur ). Enfin, on considere le cas ou = a##-#i#,#i##x##0# et on donne des conditions suffisantes sur a et k pour que le minimum soit une solution du probleme (fl).