Abstract FR:

Cette these porte sur la modelisation du comportement d'un cable de remorquage sous-marin flexible et inextensible, tracte par un bateau, auquel est attache a son extremite un engin de mesure (sonar,). Ce probleme a ete pose par l'i. F. R. E. M. E. R. En vue de mettre au point des methodes numeriques performantes et rapides pour determiner la trajectoire du cable et de l'engin en fonction de celle du bateau. Apres avoir modelise le probleme physique en faisant des hypotheses simplificatrices nous sommes conduits a la resolution d'un systeme d'equations d'evolution paraboliques quasi-lineaires integro-differentielles singulieres avec des conditions aux limites melees, dont l'inconnue est l'angle que fait la tangente au cable avec l'horizontale. Nous pouvons aussi prendre en compte la trainee de l'engin. Nous avons montre l'existence et l'unicite de la solution du probleme continu ; pour cela nous avons utilise des techniques de pseudo-monotonie et de compacite introduites par j. -l. Lions, ladyzenskaja, f. Murat pour les equations paraboliques quasi-lineaires. Mais les theoremes d'existence-unicite connus necessitent de la regularite sur le second membre. Pour cela nous avons regularise le probleme continu et nous avons montre que le probleme regularise admettait une solution et nous avons obtenu des estimations a priori pour cette solution. Mais ces estimations sont insuffisantes pour passer a la limite en utilisant des theoremes de compacite. Pour remedier a cela, nous avons donne des conditions suffisantes sur les donnees du probleme physique ; ces conditions qui sont raisonnables au point de vue physique nous ont permis d'avoir plus de regularite et de pouvoir passer a la limite. Pour l'unicite nous etions amenes a montrer quelques proprietes d'une solution telles que la negativite et la monotonie d'une solution par rapport a la variable d'espace. Nous avons discretise le probleme continu par la methode des elements finis p#1 et nous avons etabli des estimations d'erreurs dans des espaces appropries. Ensuite nous avons defini une discretisation complete en espace-temps ; ceci nous a amene a proposer des schemas d'integration numerique tels que euler explicite et euler semi-implicite ainsi que crank-nicolson extrapole et runge-kutta dont nous avons etudie la stabilite numerique. En dernier, nous avons valide par des exemples numeriques notre code de calcul qui adapte le pas de temps