Abstract FR:

Cette thèse est consacrée à la reconstruction d'image régularisée. Nous nous intéressons au cas où l'image à reconstruire est formée de zones homogènes séparées par des bords francs. C'est la régularisation avec prise en compte des discontinuités. L'image reconstruite est obtenue par minimisation d'une fonctionnelle d'énergie, ou critère. Dans un premier temps, nous proposons des conditions suffisantes pour définir un critère assurant la prise en compte des discontinuités. Nous montrons ensuite que sous ces conditions, il est possible de transformer le critère en introduisant une variable auxiliaire intéragissant avec la variable principale, soit de manière additive, soit de manière multiplicative. Le rôle de la variable auxiliaire est double : marquer les discontinuités et faciliter l'optimisation du critère. Le critère augmenté est quadratique en la variable principale lorsqu'on fixe la variable auxiliaire et convexe par rapport à la variable auxiliaire lorsqu'on fixe la variable principale. Dans ce dernier cas, nous donnons de plus l'expression littérale de la valeur optimale de la variable auxiliaire. Dans un second temps, nous exploitons d'un point de vue algorithmique les propriétés de cette régularisation semi-quadratique. La stratégie d'optimisation adoptée consiste à minimiser alternativement le critère par rapport à la variable principale et par rapport à la variable auxiliaire. Ceci nous conduit à deux algorithmes à introduction progressive de discontinuités : ARTUR et LEGEND, dont nous proposons ici une étude théroqieu et pratique. Nous appliquons les algorithmes à la reconstruction tomographique. ARTUR et LEGEND réalisent un bon compromis entre temps de calcul et qualité d'image reconstruite. Néanmoins, ils impliquent la résolution de systèmes linéaires de grandes tailles, lourds à manipuler d'un point de vue informatique. Nous proposons, à titre de perspective, une technique permettant de limiter la quantité d'information nécessaire à la reconstruction et donc d'envisager des dimensiosn d'image plus importantes.