Abstract FR:

Cette thèse comporte deux parties. Dans la première partie, nous démontrons qu'une segmentation minimisante K pour la fonctionnelle de Mumford et Shah vérifie la propriété des projections. Ceci veut dire que pour toute droite D du plan, la somme des longueurs de Hausdorff des projections sur D et sur une droite orthogonale A D de l'intersection de K et de toute boule centrée sur K et de rayon R est supérieure à AR, où A est une constante universelle. Cette démonstration réalise une étape vers la preuve de la conjecture de Mumford et Shah. Nous démontrons aussi que tout ensemble vérifiant la propriété des projections est dénombrablement rectifiable et que cette propriété est conservatrice par passage a la limite au sens de Hausdorff. Enfin, nous proposons une démonstration simplifiée du théorème de séparation de Besicovitch en demandant à un 1-ensemble E de vérifier une hypothèse supplémentaire qui n'est pas trop restrictive. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous proposons une méthode géométrique de détection de contours. Cette méthode, qui utilise les derniers résultats en diffusion anisotropique des images a pour principales caractéristiques de permettre la détection simultanée de plusieurs contours sans augmentation du temps de calcul et de ne nécessiter aucun paramètre