Abstract FR:

Cette thèse est une étude théorique sur les algorithmes de compression des signaux et des images numériques qui utilisent le codage de transformée. Cette étude repose essentiellement sur la notion de concentration de l’énergie sur les coefficients de la transformée, qui est formalisée à l'aide de la théorie de l'approximation. Deux définitions différentes de la concentration de l’énergie sont ainsi présentées. Elles sont reliées respectivement à l'approximation linéaire et non linéaire. Elles sont aussi naturellement associées à deux grandes classes de méthodes de quantification et de codage des coefficients dans les schémas de compression utilisant le codage par transformée. La première pourrait être qualifiée de fixe, et la seconde d'adaptative. Les résultats mathématiques sur l'approximation linéaire et non linéaire dans cette thèse présentent un intérêt intrinsèque. Ils relient la régularité des processus aléatoires d'une part, et la qualité de l'approximation ou la concentration de l’énergie dans les bases hilbertiennes d'autre part. La modélisation mathématique des images joue ici un rôle important. Deux grandes classes de modèles sont examinées de manière plus approfondie. L'une est basée sur la famille des espaces fonctionnels de Besov. L'autre fait appel à des processus aléatoires du second ordre. En particulier une nouvelle classe de tels processus, appelés processus stationnaires par morceaux, est introduite pour essayer de reproduire dans un cadre unidimensionnel le caractère transitoire des images et de certains signaux. Enfin une illustration pratique de l'étude théorique menée dans cette thèse est donnée. Elle suggère notamment que pour quantifier et coder la transformée en ondelettes des images, l'utilisation d'une méthode adaptative se traduit par une amélioration substantielle des performances par rapport à une méthode non adaptative