Abstract FR:

Ce travail presente une application des methodes d'optimisation et de commande optimale a un probleme de mecanique, celui de l'equilibre des milieux a comportement unilateral (1d, 2d). La situation-modele est celle ou le milieu se trouve attache a une partie de la frontiere et des forces derivant d'un potentiel sont exercees sur tout le milieu et la frontiere non attachee. Nous considerons aussi le contact unilateral avec un obstacle (on se limite a la situation sans frottement). La difficulte essentielle de l'analyse de telles structures est le caractere unilateral: les seuls efforts interieurs concevables sont ceux de traction. On etudie d'abord le probleme d'equilibre d'un milieu unidimensionnel: un fil. Apres avoir etabli le modele mecanique tenant compte des particularites du fil, on fait intervenir un principe du minimum de l'energie. Ainsi, on obtient un probleme de minimisation (optimisation) dont le critere est de nature non-convexe. Cette non-convexite est la consequence du caractere unilateral du fil. Une methode de commande optimale consistant a reformuler le probleme d'optimisation en un probleme de mayer et appliquer le principe du maximum de pontryagin, fournit les resultats necessaires pour la resolution: toute solution du probleme d'optimisation est, sous certaines hypotheses, solution du probleme mecanique, donc une configuration d'equilibre. De plus, le champ de tension a l'equilibre est uniquement determine. Ces resultats permettent d'etablir une methode de resolution numerique qui est illustree a l'aide de quelques exemples. On procede d'une maniere analogue pour le probleme d'equilibre d'un milieu bidimensionnel: une membrane souple. Puisqu'il s'agit d'une structure bidimensionnelle, le probleme d'optimisation obtenu grace au principe du minimum de l'energie, doit etre traite avec une methode de quasiconvexification. Une particularite du critere a minimiser reduit cette quasiconvexification a une convexification. Ainsi, on calcule la convexifie du critere a l'aide d'une methode de relaxation et on etablit que les solutions du probleme relaxe sont, sous certaines hypotheses, solutions du probleme d'optimisation. De plus, on obtient des resultats correspondant au cas du fil adaptes a cette nouvelle situation. Ces resultats sont ensuite utilises pour la construction d'une methode numerique de resolution et quelques essais numeriques sont exposes