Abstract FR:

Un des principes de reconnaissance de forme par morphologie mathématique repose sur le concept de granulométrie. Il consiste à transformer un objet en une courbe, sorte de signature de son aspect géométrique, possédant certains invariants tels que la translation, la rotation ou le facteur d'échelle. A toute forme binaire du plan on lui associera par exemple, sa courbe par érosion, définie comme l'application qui calcule la surface de l’érode par une boule en fonction de son rayon. Sous certaines conditions de régularité, cette courbe peut être exprimée comme une intégrale le long du squelette de l'objet, de la fonction d'étanchéité. La première partie de cette thèse étudie les relations entre les ensembles du plan ayant même courbe par érosion. On montre que la courbe par érosion quantifie bien les formes molles car une forme et son image par une légère déformation du squelette auront même signature. On montrera qu'il existe cinq comportements différents de la dérivée seconde de cette courbe qui, dans les cas génériques, correspondent chacun à une information sur le squelette ou la fonction d'étanchéité de l'objet. Finalement, on décrira comment reconstruire un objet à l'aide de cette signature. Les transformations morphologiques et particulièrement l'analyse granulométrique, conduisent à étudier l'évolution des tubes morphologiques et des courbes granulométriques. La seconde partie de cette thèse établit les relations différentielles régissant ces tubes et ces courbes, en utilisant des notions appropriées de l'analyse multivoque et non régulière.