Abstract FR:

On trouvera dans cette these une contribution a l'etude du concept de visibilite d'une part dans l'espace discret des points a coordonnees entieres de l'espace euclidien et d'autre part dans l'espace euclidien de dimension deux. Dans une premiere partie nous etablissons une version ponderee du theoreme de dirichlet sur la probabilite pour deux entiers d'etre premiers entre eux. Ce resultats est applique a l'evaluation asymptotique du nombre de droites passant par k points d'une grille lorsque sa taille tend vers l'infini, puis a une etude fine des bornes inferieures de deux problemes de geometrie combinatoire. Dans une deuxieme partie nous discutons un probleme de galerie d'art pour des obstacles ponctuels: le probleme du placement de gardes dans l'espace discret des points a coordonnees entieres de l'espace euclidien. En utilisant les outils de l'analyse, des probabilites, de la combinatoire et de l'algorithmique nous determinons, pour un nombre de gardes au plus egal a cinq puissance la dimension de l'espace concerne, la position que les gardes doivent occuper pour maximiser leur visibilite. Dans une troisieme et derniere partie nous etudions, dans le cadre restreint du plan, un certain nombre de problemes issus du graphique: le lancer de rayon, le calcul d'une vue et son maintien et enfin le probleme de l'illumination. Ces questions ont ete largement etudiees en geometrie algorithmique mais presque toujours dans le cas ou les objets consideres sont des segments. Nous montrons comment la dualite entre le plan et l'ensemble des droites orientees du plan permet de considerer dans un cadre unifie et simple l'ensemble de ces questions de visibilite sur la classe des objets convexes