Abstract FR:

Dans cette these, nous etudions divers problemes lies a la representation des nombres complexes dans un systeme de numeration. Le premier est le probleme de la realisabilite des operations arithmetiques elementaires par automates finis (addition, multiplication par un nombre complexe fixe,. . . ). Plus generalement, nous fixons la base (nombre complexe de module > 1) et nous considerons la normalisation, i. E le passage d'une ecriture d'un nombre sur un alphabet fini b a l'ecriture de ce meme nombre sur un alphabet fini distingue a. Nous montrons la soussequentialite droite de la normalisation en base -n i, ou n est un entier 1, avec a = 0, 1,. . . , n#2 et b inclus dans l'ensemble des entiers de gauss. Nous generalisons ce resultat aux bases et alphabets a et b dans l'ensemble des entiers quadratiques d'une extension quadratique qd avec -1, -2, -3, -7, -11 et a un systeme residuel complet modulo. Nous etudions aussi le cas des bases dont une puissance est entiere. Puis, nous donnons un resultat sur les suites (, a)-automatiques. Le deuxieme probleme portesur les representations infinies. Nous montrons que si la base est un nombre de pisot complexe ou un nombre hyperbolique unitaire et si les alphabets a et b sont formes d'entiers algebriques de q, alors la normalisation est calculable par automate fini. Ensuite, nous etudions l'ultime periodicite des representations infinies. Le troisieme et dernier probleme est celui de la representabilite du plan complexe. Dans le cas particulier ou l'alphabet a est forme de zero et des racines n-iemes de l'unite, nous generalisons au cas d'une base complexe un resultat d'herreros dans le cas reel : si 1 < || 1 + 2cos 2/n, alors tout complexe admet une representation, et si > 1 + 2cos /n, alors certains nombres ne sont pas representables. Nous appliquons ce resultat aux cas , qd avec d , -1, -2, -3, -7, -11.