Abstract FR:

La preservation de la topologie est un probleme qui apparait au cours du developpement d'applications d'analyse d'images, plus particulierement dans le domaine de la reconnaissance des formes. On s'interesse dans cette these a la caracterisation de la preservation de la topologie dans deux types d'espaces discrets. Le premier est celui des objets composes de cubes elementaires, les voxels, auxquels sont identifies les points de z3. Divers auteurs ont caracterise localement mais aussi de facon globale le fait qu'un point puisse etre supprime d'une partie de z3 sans en modifier les caracteristiques topologiques. Ce type de point est communement appele un point simple. L'une des caracterisations donnees utilise le groupe fondamental discret, structure issue de la topologie algebrique et basee sur l'ensemble des classes d'equivalences de chemins fermes dans un objet. On definit ici un nouvel invariant, le nombre d'entrelacement entre courbes fermees discretes. Celui-ci permet de demontrer une nouvelle caracterisation globale plus concise des points simples 3d en terme d'isomorphisme de groupe fondamental discret. L'autre espace discret considere dans cette these est constitue par la surface d'un objet de z3, surface composee des facettes visibles des voxels de cet objet : les surfels. Une telle surface est aussi appelee une surface de surfels. Dans ce cadre, on definit ici un autre invariant topologique, le nombre d'intersection entre deux chemins, dont la propriete d'invariance par deformation des chemins est demontree. Ce nombre est utilise pour prouver un nouveau theoreme de jordan dans l'espace des surfaces de surfels, mais aussi pour etablir une nouvelle caracterisation globale du fait qu'une partie de surface puisse etre obtenue par suppression sequentielle de surfels dans une autre partie qui la contient.