Abstract FR:

Cette thèse se situe dans le domaine du calcul symbolique sur des opérateurs non commutatifs. Elle présente des travaux lies au traitement automatique des représentations matricielles des séries formelles. On étend au cas de multiplicités non commutatives des résultats sur les opérations usuelles avec les séries rationnelles et les automates. Un algorithme de minimisation non commutatif est explicite ainsi que l'équivalence de représentations matricielles minimales (a coefficients non commutatifs). Ces opérations sur les séries sont implémentées en Maple dans la bibliothèque Amult. L'implémentation des produits de shuffle, Hadamard et d'infiltration ont permis d'obtenir des résultats (classification, représentation) sur des familles de lois duales dont on donne les paramètres pour lesquels les produits associes restent associatifs. Les tests effectués pour la vérification de cette bibliothèque ont abouti à un résultat de densité probabiliste des automates minimaux parmi l'ensemble des composés d'automates. Les représentations matricielles sont également utilisées pour obtenir un procède de calcul du polynôme minimal (et donc de l'inverse) d'un élément dans une algèbre semi-simple. Ce sont ensuite les unités matricielles que l'on utilise pour donner les outils permettant d'obtenir un isomorphisme rationnel entre l'algèbre de Hecke et l'algèbre du groupe symétrique (forme et construction des coefficients de transfert). Dans le cas partiellement commutatif, on étend un théorème de M. P. Schutzenberger sur la factorisation des monoïdes libres non commutatifs, faisant de nouveau appel ici aux séries pour l'énumération de codes et de classes de conjugaison.