Abstract FR:

Cette these presente les principales methodes intrinseques de l'analyse algebrique moderne, en particulier la theorie des modules differentiels ou d-modules. En meme temps, elle presente le moyen de les utiliser dans l'etude des systemes de controle lineaires multidimensionnels a coefficients constants ou variables lorsque les relations entrees/sorties sont definies par des systemes d'equations aux derivees partielles dans le cas continu ou par des equations aux differences dans le cas discret. L'outil essentiel est la dualite existant entre la theorie des modules differentiels et la theorie formelle des systemes d'equations aux derivees partielles. Combine a la technique classique de la localisation et a la construction des foncteurs torsion/extension en algebre homologique, il donne un cadre naturel pour etudier la classification des modules (libre, projectif, reflexif, sans-torsion,) et son interpretation en theorie du controle. En consequence, la these reformule et generalise les divers concepts qui peuvent etre rencontres dans la litterature extensive sur les systemes de controle multidimensionnels (controlabilite, observabilite, poles et zeros,). En particulier, ce travail unifie pour la premiere fois les differentes definitions de primalite en les reliant a la precedente classification des modules et aux tests correspondants presentes dans les annees 1970 par palamodov et kashiwara mais jamais appliques ou illustres depuis cette date. Parmi les nombreux resultats presentes, la these decrit une nouvelle approche des identites de bezout generalisees pour les systemes controlables a coefficients variables et elle montre que de telles identites sont en fait equivalentes a la scission d'une suite differentielle exacte formee par l'operateur definissant le systeme de controle et sa parametrisation. Utilisant la parametrisation precedente des systemes controlables, la these montre finalement comment transformer un probleme de commande optimale, avec fonction de cout quadratique et contrainte differentielle lineaire, en un probleme variationnel sans contrainte. Cette approche formelle utilise la fonction de cout pour lier la suite differentielle formee par l'operateur controlable et sa parametrisation avec la suite differentielle formee par les operateurs adjoints respectifs. L'une des caracteristiques les plus importantes de cette these est de presenter un grand nombre d'illustrations explicites des resultats precedents au moyen d'exemples provenant de differents domaines des sciences de l'ingenieur (elasticite, electromagnetisme, hydrodynamique). Le dernier chapitre pose les bases de travaux futurs sur les liens existant entre les problemes de stabilisation robuste et la theorie des modules de banach.